Способы решения показательных уравнений и неравенств. Решение показательных уравнений и неравенств. Определение и свойства показательной функции, методика решения простейших показательных уравнений

Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5) (7 - 3*x) < 4.

Заметим, что 4 = (0.5) 2 . Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 - 3*x) < (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Получим: 7 - 3*x>-2.

Отсюда: х<3.

Ответ: х<3.

Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно.

Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению . В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.

Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике « » в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.

Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств , как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.

Показательная функция

Что такое показательная функция?

Функцию вида y = a x , где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией .

Основные свойства показательной функции y = a x :

График показательной функции

Графиком показательной функции является экспонента :

Графики показательных функций (экспоненты)

Решение показательных уравнений

Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Теорема 1. Показательное уравнение a f (x ) = a g (x ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x ) = g (x ).

Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Пример 1. Решите уравнение:

Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:

Уравнение тогда принимает вид:

Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:

Переходя к обратной подстановке, получаем:

Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:

С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.

Ответ: x = 3.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9 4 -x положительна и не равна нулю).

Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:

Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.

Ответ: x = 6.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x . Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:

Ответ: x = 0.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:

Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x .

Ответ: x = 0.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение: функция y = 3 x , стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x -2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.

Ответ: x = -1.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:

Ответ: x = 2.

Решение показательных неравенств

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:

Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству того же смысла: f (x ) > g (x ). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству противоположного смысла: f (x ) < g (x ).

Пример 7. Решите неравенство:

Решение: представим исходное неравенство в виде:

Разделим обе части этого неравенства на 3 2x , при этом (в силу положительности функции y = 3 2x ) знак неравенства не изменится:

Воспользуемся подстановкой:

Тогда неравенство примет вид:

Итак, решением неравенства является промежуток:

переходя к обратной подстановке, получаем:

Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательно получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

Введем новую переменную:

С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:

Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:

Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t :

Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:

Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:

Окончательно получаем ответ:

Пример 9. Решите неравенство:

Решение:

Делим обе части неравенства на выражение:

Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:

t , находящиеся в промежутке:

Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:

Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение:

Ветви параболы y = 2x +2-x 2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:

Ветви параболы y = x 2 -2x +2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:

Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3 x 2 -2x +2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.

Ответ: x = 1.

Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.

Сергей Валерьевич

P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно.

Способы решения систем уравнений

Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений.

Существуют четыре основных способа решения систем уравнений:

Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Способ введения новых переменных: в этом способе мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов.

Системы показательных уравнений

Определение 1

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

Решение систем показательных уравнений будем рассматривать на примерах.

Пример 1

Решить систему уравнений

Рисунок 1.

Решение.

Будем пользоваться первым способом для решения данной системы. Для начала выразим в первом уравнении $y$ через $x$.

Рисунок 2.

Подставим $y$ во второе уравнение:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Ответ: $(-4,6)$.

Пример 2

Решить систему уравнений

Рисунок 3.

Решение.

Данная система равносильна системе

Рисунок 4.

Применим четвертый метод решения уравнений. Пусть $2^x=u\ (u >0)$, а $3^y=v\ (v >0)$, получим:

Рисунок 5.

Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения:

\ \

Тогда из второго уравнения, получим, что

Возвращаясь к замене, получил новую систему показательных уравнений:

Рисунок 6.

Получаем:

Рисунок 7.

Ответ: $(0,1)$.

Системы показательных неравенств

Определение 2

Cистемы неравенств, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных неравенств.

Решение систем показательных неравенств будем рассматривать на примерах.

Пример 3

Решить систему неравенств

Рисунок 8.

Решение:

Данная система неравенств равносильна системе

Рисунок 9.

Для решения первого неравенства вспомним следующую теорему равносильности показательных неравенств:

Теорема 1. Неравенство $a^{f(x)} >a^{\varphi (x)} $, где $a >0,a\ne 1$ равносильна совокупности двух систем

\}