Вы знакомы с функциями y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x
и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y=x p
, где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x
и p
имеет смысл степень x
p
.
Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.
- Показатель p=2n -четное натуральное число.
свойствами:
- область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
- множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
- функция y=x 2n четная, так как x 2n =(- x) 2n
- функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.
2. Показатель p=2n-1
- нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция y=x 2n-1
, где натуральное число, обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R;
- множество значений - множество R;
- функция y=x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 =x 2n-1 ;
- функция является возрастающей на всей действительной оси.
3.Показатель p=-2n , где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x -2n =1/x 2n обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R, кроме x=0;
- множество значений - положительные числа y>0;
- функция y=1/x 2n четная, так как 1/(-x) 2n =1/x 2n ;
- функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.
Напомним свойства и графики степенных функций с целым отрицательным показателем.
При четных n, :
Пример функции:
Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;1). Особенность функций данного вида - их четность, графики симметричны относительно оси ОУ.
Рис. 1. График функции
При нечетных n, :
Пример функции:
Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;-1). Особенность функций данного вида - их нечетность, графики симметричны относительно начала координат.
Рис. 2. График функции
Напомним основное определение.
Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем называется число .
Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем называется число .
Для выполняется равенство:
Например: 
; - выражение не существует по определению степени с отрицательным рациональным показателем; существует, т. к. показатель степени целый,
Перейдем к рассмотрению степенных функций с рациональным отрицательным показателем.
Например:
Для построения графика данной функции можно составить таблицу. Мы поступим иначе: сначала построим и изучим график знаменателя - он нам известен (рисунок 3).
Рис. 3. График функции
График функции знаменателя проходит через фиксированную точку (1;1). При построении графика исходной функции данная точка остается, при корень также стремится к нулю, функция стремится к бесконечности. И, наоборот, при стремлении х к бесконечности функция стремится к нулю (рисунок 4).
Рис. 4. График функции
Рассмотрим еще одну функцию из семейства изучаемых функций.
Важно, что по определению
Рассмотрим график функции, стоящей в знаменателе: , график данной функции нам известен, она возрастает на своей области определения и проходит через точку (1;1) (рисунок 5).
Рис. 5. График функции
При построении графика исходной функции точка (1;1) остается, при корень также стремится к нулю, функция стремится к бесконечности. И, наоборот, при стремлении х к бесконечности функция стремится к нулю (рисунок 6).
Рис. 6. График функции
Рассмотренные примеры помогают понять, каким образом проходит график и каковы свойства изучаемой функции - функции с отрицательным рациональным показателем.
Графики функций данного семейства проходят через точку (1;1), функция убывает на всей области определения.
Область определения функции: 
Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Функция непрерывна, принимает все положительные значения от нуля до плюс бесконечности.
Функция выпукла вниз (рисунок 15.7)
На кривой взяты точки А и В, через них проведен отрезок, вся кривая находится ниже отрезка, данное условие выполняется для произвольных двух точек на кривой, следовательно функция выпукла вниз. Рис. 7.
Рис. 7. Выпуклость функции
Важно понять, что функции данного семейства ограничены снизу нулем, но наименьшего значения не имеют.
Пример 1 - найти максимум и минимум функции на интервале Свойства функции arcsin
[Править]Получение функции arcsin
Дана
функция На
всей своей области
определения
она
является кусочно-монотонной
,
и, значит, обратное соответствие 
функцией
не является. Поэтому мы рассмотрим
отрезок, на котором она строго возрастает
и принимает все значения области
значений
- .
Так как для функции на
интервале каждому
значению аргумента соответствует
единственное значение функции, то на
этом отрезке существует обратная
функция
график
которой симметричен графику функции на
отрезке относительно
прямой
Приведены справочные данные по показательной функции - основные свойства, графики и формулы. Рассмотрены следующие вопросы: область определения, множество значений, монотонность, обратная функция, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.
СодержаниеСвойства показательной функции
Показательная функция y = a x
,
имеет следующие свойства на множестве действительных чисел ()
:
(1.1)
определена и непрерывна, при ,
для всех ;
(1.2)
при a ≠ 1
имеет множество значений ;
(1.3)
строго возрастает при ,
строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4)
при ;
при ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Другие полезные формулы.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:
При b = e
,
получаем выражение показательной функции через экспоненту:
Частные значения
, , , , .
y = a x
при различных значениях основания a
.
На рисунке представлены графики показательной функции
y(x)
= a x
для четырех значений основания степени
: a = 2
,
a = 8
,
a = 1/2
и a = 1/8
.
Видно, что при a > 1
показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a
,
тем более сильный рост. При 0
< a < 1
показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a
,
тем сильнее убывание.
Возрастание, убывание
Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
| y = a x , a > 1 | y = a x , 0 < a < 1 | |
| Область определения | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Область значений | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Монотонность | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Нули, y = 0 | нет | нет |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Обратная функция
Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .
Если ,
то
.
Если ,
то
.
Дифференцирование показательной функции
Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.
Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных :
.
Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e
:
Применим правило дифференцирования сложной функции . Для этого вводим переменную
Тогда
Из таблице производных имеем (заменим переменную x
на z
):
.
Поскольку - это постоянная, то производная z
по x
равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
Производная показательной функции
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Пример дифференцирования показательной функции
Найти производную функции
y = 3
5
x
Решение
Выразим основание показательной функции через число e
.
3
= e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда
Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3
- это постоянная, то производная z
по x
равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.
Ответ
Интеграл
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексного числа z
:
f(z)
= a z
где z = x + iy
;
i 2 = - 1
.
Выразим комплексную постоянную a
через модуль r
и аргумент φ
:
a = r e i φ
Тогда
.
Аргумент φ
определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2
πn
,
где n
- целое. Поэтому функция f(z)
также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.