Тепловое движение. Температура. Характер теплового движения молекул. Число ударов молекул о стену. Определение Перреном постоянной Авогадро Особенности теплового движения

Тепловое движение молекул.
Наиболее убедительный факт – броуновское движение молекул. Броуновское движение молекул подтверждает хаотический характер теплового движения и зависимость интенсивности этого движения от температуры. Впервые беспорядочное движение мелких твердых частиц, наблюдал английский ботаник Р.Броун в 1827 году, рассматривая взвешенные в воде твердые частички – споры плауна. Обратить внимание учащихся на то, что движение спор происходит по прямым, составляющим ломанную линию. С тех пор, движение частиц в жидкости или газе называется броуновским. Провести стандартный демонстрационный эксперимент "Наблюдение броуновского движения", используя круглую коробочку с двумя стеклами.

Изменяя температуру жидкости или газа, например, увеличивая ее, можно увеличить интенсивность броуновского движения. Броуновская частица движется под действием ударов молекул. Объяснение броуновского движения частицы состоит в том, что удары молекул жидкости или газа о частицу не компенсируют друг друга. Количественная теория броуновского движения была разработана Альбертом Эйнштейном в 1905 году. Эйнштейн показал, что средний квадрат смещения броуновской частицы пропорционален температуре среды, зависит от формы и размеров частицы и прямо пропорционален времени наблюдения. Французский физик Ж.Перрен провел серию опытов, которые количественно подтвердили теорию броуновского движения.

Расчет числа ударов о стенку сосуда. Рассмотрим идеальный одноатомный газ, находящийся в равновесии в сосуде объемом V. Выделим молекулы, имеющие скорость от v до v + dv. Тогда число молекул, движущихся в направлении углов  и с этими скоростями будет равно:

dN v,, = dN v ·d/4. (14.8)

Выделим элементарную поверхность площадью dП., которую примем за часть стенки сосуда. За единицу времени до этой площади дойдут молекулы, заключенные в косом цилиндре с основанием dП и высотой v·cos  (см. рис. 14.3). Число пересечений выбранными нами молекулами выделенной поверхности (число ударов о стенку) в единицу времени d v,, будет равно произведению концентрации молекул на объем этого косого цилиндра:

d v,, = dП·v·cos ·dN v,, /V, (14.9)
где V - объем сосуда, в котором содержится газ.

Проинтегрировав выражение (14.9) по углам в пределах телесного угла 2, что соответствует изменению углов  и в диапазоне от 0 до /2 и от 0 до 2соответственно, получим формулу для расчета полного числа ударов молекул, имеющих скорости от v до v + dv о стенку.

Проинтегрировав выражение по всем скоростям получим, что число ударов молекул о стенку площадью dП в единицу времени будет равно:

. (14.11)

Учитывая определение средней скорости получим, что число ударов молекул о стенку единичной площади в единицу времени будет равно:

= N/V·/4 = n·/4.

Распределение Больцмана, то есть распределение частиц во внешнем потенциальном поле, может быть использовано для определения констант, используемых в молекулярной физике. Один из самых важных и знаменитых экспериментов в этой области - это работы Перрена по определению числа Авогадро. Так как молекулы газов не видны даже в микроскоп, то на эксперименте использовались гораздо большие по размеру броуновские частицы. Эти частицы помещались в раствор, в котором на них действовала выталкивающая сила. При этом уменьшалась сила тяжести, действующая на броуновские частицы, и тем самым распределение частиц по высоте как бы растягивалось. Это давало возможность наблюдать это распределение в микроскоп.

Одна из трудностей состояла в получении взвешенных частиц совершенно одинакового размера и формы. Перрен пользовался частицами гуммигута и мастики. Растирая гуммигут в воде. Перрен получал эмульсию ярко-желтого цвета, в которой при наблюдении в микроскоп можно было различить множество зернышек сферической формы. Вместо механического растирания Перрен обрабатывал также гуммигут или мастику спиртом, растворяющим эти вещества. При разбавлении такого раствора большим количеством воды получалась эмульсия из таких же сферических зернышек, что и при механическом растирании гуммигута. Для отбора зернышек совершенно одинакового размера Перрен подвергал взвешенные в 1воде частицы многократному центрифугированию и таким путем получал весьма однородную эмульсию, состоящую из шарообразных частиц с радиусом порядка микрометра. Обработав 1 кг гуммигута, Перрен получил через несколько месяцев фракцию, содержавшую несколько дециграммов зерен желаемого размера. С этой фракцией и были выполнены описываемые здесь опыты.

При изучении эмульсии надо было производить измерения при ничтожных разностях высот - всего в несколько сотых миллиметра. Поэтому распределение концентрации частиц по высоте исследовалось с помощью микроскопа. К предметному стеклу микроскопа (изображено на рисунке) приклеивалось очень тонкое стекло с просверленным в нем широким отверстием. Таким путем получалась плоская ванночка (кювета Цейсса (1816-1886)), высота которой была около 100 мкм (0,1 мм). В центре ванночки помещалась капля эмульсии, которая тотчас сплющивалась покровным стеклом. Чтобы избежать испарения, края покровного стекла покрывались парафином или лаком. Тогда препарат можно было наблюдать в течение нескольких дней или даже недель. Препарат помещался на столике микроскопа, тщательно установленного в горизонтальном положении. Объектив был очень сильного увеличения с малой глубиной фокуса, так что одновременно можно было видеть только частицы, находящиеся внутри очень тонкого горизонтального слоя с толщиной порядка микрометра. Частицы совершали интенсивное броуновское движение. Фокусируя микроскоп на определенный горизонтальный слой эмульсии, можно было сосчитать число частиц в этом слое. Затем микроскоп фокусировался на другой слой, и снова считалось число видимых броуновских частиц. Таким путем можно было определить отношение концентраций броуновских частиц на разных высотах. Разность высот измерялась микрометрическим винтом микроскопа.

Теперь перейдем к конкретным расчетам. Так как броуновские частицы находятся в поле сил тяжести и Архимеда, то потенциальная энергия такой частицы

В этой формуле p - плотность гуммигута, p - плотность жидкости, V - объем частицы гуммигута. Начало отсчета потенциальной энергии выбрано на дне кюветы, то есть при h = 0. Распределение Больцмана для такого поля запишем в виде

n(h) = n0e kT = n0e kT . Напомним, что n - число частиц в единице объема на высоте h, а n0 - число частиц в единице объема на высоте h = 0.

Число шариков AN, видимых в микроскоп на высоте h, равно n(h)SAh, где S - площадь видимой части эмульсии, а Ah - глубина резкости микроскопа (в опыте Перрена эта величина составляла 1 мкм). Тогда отношение чисел частиц на двух высотах h1 и h2 запишем так:

AN1 = ((p-p")Vg(h2 _ h1) - exp

Вычислив логарифм от обеих частей равенства и произведя несложные вычисления, получаем значение постоянной Больцмана, а, затем и числа Авогадро:

k (p_p")Vg(h2 _ h1)

При работе в различных условиях и с различными эмульсиями Перрен получил значения постоянной Авогадро в диапазоне от 6.5 1023 до 7.2 1023 моль-1. Это было одним из прямых доказательств молекулярно - кинетической теории, в справедливость которой в то время верили далеко не все ученые.

Средняя энергия молекул.

«ТЕПЛОВОЕ ДВИЖЕНИЕ МОЛЕКУЛ»

КГТУ. Каф. Физики. Гайсин Н.К., Казанцев С.А., Минкин В.С., Самигуллин Ф.М.

Для перемещения по тексту можно использовать:

1- нажатие клавиш PgDn, PgUp,,  для перемещения по страницам и по строкам ;

2- нажатие левой клавиши «мыши» по выделенному тексту для перехода в требуемый раздел;

3- нажатие левой клавиши «мыши» по выделенному значку @ для перехода в оглавление

Характер теплового движения молекул в разных состояниях. Средние энергии молекул в разных фазах. Распределение молекул по скоростям.

Диффузия. Коэффициент диффузии.

Моделирование движения молекул с помощью компьютера.

Упражнение. Наблюдение и анализ: 1-траекторий движения молекул в трех агрегатных состояниях, 2- графиков распределения молекул по скоростям, 3-радиальных функций распределения, 4-коэффициентов диффузии.

@ 1. .Характер теплового движения молекул в разных состояниях. Средние энергии молекул в разных фазах. Распределение молекул по скоростям.

Как известно молекулы и атомы в веществе постоянно находятся в движении, которое имеет случайный, хаотический характер. Тем не менее в каждом агрегатном состоянии имеются характерные особенности этого движения, которые во многом определяют свойства различных состояний. Это связано с тем, что межмолекулярные силы взаимодействия стремятся сблизить молекулы, а тепловое хаотичное движение препятствует этому и такие две тенденции в разных агрегатных состояниях дают, значительно отличающиеся, вклады в характер движения молекул. Для количественного анализа влияния различных вкладов, обычно рассматривают величину полной средней энергии молекулы и вклад в эту энергию кинетической и потенциальной составляющих.

В газах среднее расстояние между молекулами больше их размеров, силы притяжения малы, а интенсивность движения значительна, что не позволяет молекулам объединиться на длительное время, а при отсутствии сосуда молекулы стремятся заполнить все доступное пространство. В газах потенциальная энергия взаимодействия отрицательна, кинетическая энергия имеет большую величину, поэтому полная энергия молекулы положительна и при расширении молекулярная система может совершать работу над внешними системами. Вследствие этого, молекулы распределены в пространстве равномерно, большее время находятся на больших расстояниях (Рис.1а) и двигаются равномерно и прямолинейно без взаимодействия. Взаимодейтвие молекул имеет кратковременный характер и происходит только при их столкновении, что приводит к значительному изменению траектории движения.

В твердых телах среднее расстояние между молекулами сравнимо с их размерами, поэтому силы притяжения очень велики и даже сравнительно большая интенсивность движения не позволяет молекулам разойтись на большие расстояния. В данном случае отрицательная потенциальная энергия взаимодействия много больше кинетической энергии, поэтому полная энергия молекулы также отрицательна и для разрушения твердого тела необходимо совершать значительную работу. Молекулы в твердом теле располагаются на строго определенных расстояниях друг от друга и совершают колебательные движения около некоторых средних положений, называемых узлами кристаллической решетки (Рис.1в).

В жидкостях расстояние между молекулами сравнимо с их размерами, силы притяжения велики, но интенсивность теплового движения тоже большая, что позволяет молекулам по истечении некоторого времени отойти друг от друга на большие расстояния. В жидкостях отрицательная потенциальная энергия взаимодействия сравнима по величине с кинетической энергией, поэтому полная энергия молекулы близка к нулю, что позволяет жидкости легко деформироваться и без разъединения занимать доступный объем под действием даже слабых внешних сил. Молекулы в жидкости, находятся в среднем на определенных, близких друг от друга расстояниях и совершают, похожие на колебания, движения около средних положений, которые также перемещаются хаотически в пространстве (Рис.1б).

Рис. 1. Характер движения молекул в газах (а), жидкостях (б) и твердых (в) телах

В результате взаимодействия между молекулами молекулярная система через некоторое время, называемым временем релаксации, приходит в равновесное состояние, характеризуемое: 1- определенным уравнением состояния, связывающим термодинамические параметры вещества; 2- определенной радиальной функцией, характеризующей распределения молекул в пространстве; 3- функцией Максвелла, характеризующей распределения молекул по скоростям (Рис.2 ).

При каждом акте взаимодействия молекул друг с другом их скорости меняются и в результате через некоторое время устанавливается равновесное состояние, при котором число молекул dN , имеющих скорость в определенном диапазоне значений dV сохраняется постоянным и определяется функцией Максвелла F (V ) согласно соотношениям

dN = N F(V)  V , F(V)=4V 2 (m/2kT) 3/2 exp(-mV 2 /2kT).

Вид этой функции показан на Рис.2, она существенно зависит от температуры Т и характеризуется наличием максимума, который указывает на наличие наиболее вероятной скорости V вер. Как видно из графиков (Рис.2), в веществе имеются молекулы с любыми скоростями, но число молекул со скоростями в диапозоне dV около наивероятнейшей будет наибольшим. Максвелловское распределение молекул по скоростям характерно для всех агрегатных состояний, но время релаксации к такому распределению у них разное, это связано с различием времени взаимодействия молекул в разных фазах.

Рис. 2. Максвелловское распределение молекул по скоростям.

@ 2_Диффузия. Коэффициент диффузии.

Вследствие теплового движения молекул в веществе происходит диффузия. Диффузия это явление переноса вещества из одной части занимаемого им объема в другую. Это явление наиболее сильно проявляется в газах и жидкостях, в которых тепловое движение молекул особенно интенсивно и возможно на большие расстояния.

Феноменологически диффузия описывается законом Фика, который устанавливает связь между удельным потоком J i компонента i и градиентом концентрации этого компонента вещества n i

Удельный поток диффузии J i - это количество молекул компонента i, перенесенного за единицу времени через единицу площади поперечного сечения, перпендикулярного к направлению потока вещества, n i – числовая плотность компонента i, D i – коэффициент диффузии, V 0 – гидродинамическая скорость вещества. Коэффициент диффузии в системе СИ имеет размерность м 2 с -1 . Знак минус в формуле Фика указывает на то, что поток диффузии направлен обратно направлению роста концентрации вещества. Уравнение Фика описывает только стационарный процесс диффузии, при котором концентрация, ее градиент и диффузионный поток не зависят от времени.

Механизм диффузии в газах подробно рассматривается в разделе молекулярной физики. Молекулярно-кинетическая теория газов приводит к известному выражению для коэффициента диффузии

где i - средняя длина свободного пробега и i - средняя арифметическая скорость поступательного движения молекул газа сорта i, d i – эффективный диаметр, m i - масса молекул, n i – числовая плотность, p – давление. Эта формула соблюдается в довольно широком интервале давлений и температур для не плотных газов и дает значение порядка 10 -5 м 2 /c.

Однако диффузия молекул в жидкостях значительно отличается от диффузии в газах, это связано с различием характера движения молекул в этих фазах. Плотность вещества в жидком состоянии в тысячи раз больше его плотности в газообразном состоянии. Поэтому в жидкостях каждая молекула сидит в плотном окружении соседних молекул и не имеет свободы поступательных перемещений как в газах. Согласно известной теории Френкеля, молекулы в жидкостях, как и в твердых телах, совершают беспорядочные колебания около положений равновесия. Эти положения можно рассматривать как потенциальные ямы, созданные окружающими молекулами. В кристаллах молекулы не могут покидать свои положения равновесия, и поэтому можно считать, что в них практически отсутствуют поступательные перемещения молекул. В жидкостях такие положения не являются постоянными. Время от времени молекулы меняют свои положения равновесия, оставаясь в плотном окружении других молекул.

Диффузию молекул в однокомпонентных жидкостях, обусловленную их тепловым движением в отсутствие градиентов концентрации, обычно называют самодиффузией молекул. Для того, чтобы молекулы, преодолев взаимодействие с окружающими молекулами, могли совершить переход в новое положение, необходима энергия. Та минимальная энергия, которая необходима, чтобы молекула покинула временную потенциальную яму, называется энергией активации. Молекулу, получившую такую энергию, называют активированной. Молекулы, совершающие беспорядочные колебания, активируются в результате столкновений с окружающими молекулами. Энергия активации в жидкостях значительно меньше, чем в кристаллах. Поэтому переходы молекул в жидкостях с одного места на другое значительно чаще, чем в кристаллах. Число активированных молекул определяется распределением Больцмана, и частота переходов (скачков㿹 молекул в новые положения , определяется приближенной формулой
, где 0 - коэффициент, слабо зависящий от температуры, Е – энергия активации.

Для получения формулы коэффициента диффузии для жидкости рассмотрим диффузионный поток через некоторую поверхность площадью s . При тепловом движении молекулы проходят через эту поверхность как в прямом, так и в обратном направлениях. Поэтому удельный диффузионный поток может быть выражен в виде
, где знаки соответствуют прямому и обратному направлению осих . Найдем величины J + и J -- . Через выделенную поверхность, очевидно, за один скачок могут пройти без отклонения только те молекулы, которые находятся от нее на расстоянии не далее средней длины скачка молекул δ . Построим по обе стороны от поверхности цилиндр с площадью основания s . Через поверхность s пройдут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра δ s . Однако пройдут не все молекулы, а только те из них скачки которых направлены вдоль оси х . Если считать, что молекулы с равной вероятностью движутся вдоль осей х, у и z , то через сечение в данном направлении пройдет только 1/6 часть общего числа молекул в цилиндре. Тогда число молекул, проходящих за один скачок через поверхность s в прямом направлении N + выразится в виде
, где n 1 – число молекул в единице объема на расстоянии δ влево от поверхности s . Аналогичное рассуждение о прохождении молекул через поверхность s в обратном направлении приведет к выражению
, где n 2 – число молекул в единице объема на расстоянии δ вправо от поверхности s . Тогда диффузионные потоки могут быть найдены как и . Полный поток выразится в виде

, где n 1 -n 2 – разность концентраций молекул в слоях, отстоящих друг от друга на среднем расстоянии δ можно записать в виде n 1 -n 2 =nx. Тогда получаем
. Сравнивая эту формулу с законом Фика для случая когда V 0 =0, находим

откуда
, где
- коэффициент, слабо зависящий от температуры, эта формула для жидкостей и плотных газов дает значение дляD порядка 10 -9 м 2 /c.

Явление самодиффузии молекул можно также анализировать путем рассмотрения теплового поступательного движения молекул, как серии беспорядочных, равновероятных перемещений (блужданий). За некоторый достаточно большой промежуток времени молекулы могут описать длинную траекторию, однако они сместятся от первоначального положения на незначительное расстояние. Рассмотрим совокупность молекул в виде беспорядочно движущихся частиц, выберем из этой совокупности некоторую молекулу и предположим, что она в начальный момент времени находится в начале системы координат. Далее через равные промежутки времени Δt будем отмечать радиусы-векторы ее места нахождения r (t i ) . Вектор перемещения молекулы между (i -1)-м i –м моментами времени будет выражаться в виде Δ r i = r (t i )- r (t i -1 ). К моменту времени t к = k Δt молекула окажется смещенной из начальной точки наблюдения в точку с радиусом-вектором r (t к ) , который выражается как векторная сумма смещений  r (t к ) =  r i . Квадрат смещения частицы за это время выразится в виде

r (t к ) = (Δ r i ) 2 =
(Δ r i Δ r j ) + Δ r i 2 .

Усредним полученное выражение по всем молекулам рассматриваемой совокупности, тогда ввиду независимости смещений молекул в разные промежутки времени в двойной сумме одинаково часто встречаются как положительные так и отрицательные значения скалярного произведения, поэтому ее статистическое среднее равно нулю. Тогда средний квадрат смещения частиц запишется как < r 2 (t k )> = <Δ r i 2 >. В жидкости <Δ r i 2 > следует считать равным среднему квадрату скачка молекулδ 2 , а число скачков за времяt k равнымt k . Тогда < r 2 (t k )>= t k δ 2 . Сопоставив это выражение с формулой дляD , получаем известное соотношение Эйнштейна, из которого становится ясным молекулярно-кинетический смысл коэффициента диффузииD

< r 2 (t )> = 6Dt .

Можно доказать, что коэффициенты диффузии в формулах Эйнштейна и Фика идентичны. Для однокомпонентной системы этот коэффициент называют коэффициентом самодиффузии, в случае диффузии в многокомпонентных смесях при наличии у них градиентов концентраций, потоки отдельных компонентов можно определить если известны коэффициенты диффузии всех компонентов в смеси. Экспериментально их находят методам радиоактивных меток или методом ядерного магнитного резонанса, в которых можно определять средний квадрат смещения «меченных» молекул.

@ 3_Моделирование движения молекул с помощью компьютера.

Современные средства вычислительной техники обладают огромной памятью и высоким быстродействием. Такие качества делают их незаменимым средством моделирования ряда физических процессов. В молекулярной физике широко развит метод молекулярной динамики - метод моделирования молекулярного движения. Этот метод широко применяется в газах, жидкостях, кристаллах и полимерах. Он сводится к численному решению уравнений динамики движения частиц в ограниченном объеме пространства с учетом взаимодействий между ними и может имитировать поведение молекул в произвольных условиях, аналогичным реальным. В этом отношении можно его уподобить реальному эксперименту, поэтому такое моделирование иногда называют численным экспериментом. Значение этих “экспериментов” состоит в том, что они дают возможность следить во времени за изменением нескольких макроскопических параметров, характеризующих систему частиц, и усредняя их по времени или по числу частиц, получать термодинамические параметры моделируемых реальных систем. Кроме того, они дают возможность визуализации молекулярного движения, позволяя следить за траекторией любой отдельно взятой частицы.

Алгоритм моделирования состоит из нескольких этапов. Вначале определенное число частиц (в пределах 10 2 -10 3) хаотично распределяют в некотором ограниченном объеме (в ячейке), задавая случайным образом начальные скорости и координаты каждой частицы. Начальные скорости частиц задаются так, чтобы средняя кинетическая энергия поступательного движения частиц была равна (3/2)кТ , т.е. соответствовала температуре опыта, а начальные координаты задают в соответствии со средним межмолекулярным расстоянием моделируемой системы.

Далее, зная потенциал взаимодействия частиц (например, потенциал Леннарда-Джонса) и соответственно силу межмолекулярного взаимодействия производится расчет результирующих мгновенных сил, действующих на каждую частицу со стороны всех остальных частиц, и по уравнению динамики (второму закону Ньютона) вычисляются мгновенные ускорения частиц, вызванные, действием этих сил. Зная ускорения, а также начальные координаты и скорости, производится расчет скоростей и координат частиц в конце заданного малого промежутка времени  t (обычно 10 -14 с). При средней скорости движения частиц около 10 3 м/с, смещение частиц за такой малый промежуток времени составляет величину порядка 10 -11 м, что значительно меньше их размеров.

Последовательное повторение таких вычислений с запоминанием мгновенных сил, скоростей и координат частиц, позволяет знать координаты и скорости всей системы частиц на достаточно большом промежутке времени. Ограниченность объема учитывается специальными граничными условиями. Либо полагают, что на границе заданного объема частица испытывает абсолютно-упругое соударение со стенкой и вновь возвращается в объем, либо считают, что данная ячейка окружена со всех сторон такими же ячейками и, если частица выходит из данной ячейки, то одновременно тождественная ей частица входит с противоположной ячейки. Таким образом, число частиц и их полная энергия в объеме ячейки не меняются. Вследствие математически случайного характера первоначального распределения частиц по скоростям и координатам, необходимо некоторое время (время релаксации –10 -12 - 10 -11 с), в течении которого в системе устанавливается равновесное состояние частиц по скоростям (Максвелловское распределение скоростей) и по координатам (распределение в соответствии с радиальной функцией распределения).

Значения макроскопических параметров, характеризующих систему, вычисляются путем их усреднения по траектории или по скоростям частиц. Например, давление на стенки сосуда можно получить путем усреднения изменений импульсов частиц, сталкивающихся с границами ячейки. Усреднением числа частиц в шаровых слоях, находящихся на различных расстояниях r от выбранной молекулы, можно определить радиальную функцию распределения. По средним квадратам смещений частиц за заданное время, можно рассчитать коэффициенты самодиффузии молекул. Подобным образом определяют и другие искомые характеристики.

Естественно, процессы, происходящие в системе частиц за короткое время, рассчитываются ЭВМ за значительное время. Машинное время, затрачиваемое на расчеты, может составить десятки, а то и сотни часов. Это зависит от числа выбранных в ячейке частиц и от быстродействия ЭВМ. Современные ЭВМ позволяют моделировать динамику до 10 4 частиц, доводя время наблюдения за процессом их перемещений до 10 -9 с, точность расчета характеристик исследуемых систем позволяет не только уточнять теоретические положения, но и использовать их на практике.

@ 4_Упражнение. Наблюдение и анализ: 1-траекторий движения молекул в трех агрегатных состояниях, 2- графиков распределения молекул по скоростям, 3-радиальных функций распределения, 4-коэффициентов самодиффузии.

В данном упражнении программа компьютера моделирует методом молекулярной динамики движение атомов аргона (с потенциалом взаимодействия Леннард-Джонса) в трех агрегатных состояниях: плотный газ, жидкость, твердое тело. Для выполнения данного упражнения необходимо войти в программу MD-L4.EXE, последовательно просмотреть и выполнить предлагаемые пункты меню.

Меню программы содержит четыре пункта:

1 ИНСТРУКЦИЯ ДЛЯ РAБОТ Ы,

2 ВЫБОР ПAРAМЕТРОВ МОДЕЛИРУЕМЫХ СОСТОЯНИЙ,

3 МОДЕЛИРОВAНИЕ ДИНAМИКИ ЧAСТИЦ,

4 КОНЕЦ РAБОТЫ.

В пункте 1- <<ИНСТРУКЦИЯ ДЛЯ РAБОТЫ>> рассказывается о программе и о методике работы с программой. Необходимо отметить и запомнить: 1) Данная программа предусматривает работу в двух режимах для выполнения двух видов работ, необходимых при моделировании молекулярного движения в разных фазах; 2) Результаты моделирования выдаются на два экрана, переключение между которыми производится одновременным нажатием клавиш Alt +1 и Alt +2 , останов работы программы и выход в меню производится одновременным нажатием клавиш Ctrl и S ; 3) Для правильного выполнения программы необходимо следить за ее сообщениями и правильно выполнять их.

В пункте 2 программа работает в режиме <<ВЫБОР ПAРAМЕТРОВ МОДЕЛИРУЕМЫХ СОСТОЯНИЙ>> , который позволяет рассмотреть фазовую диаграмму для системы частиц с потенциалом взаимодействия Леннард-Джонса и рассчитать для различных агрегатных состояний следующие параметры: приведенное давление P*=Pd 3 /e и приведенную полную энергию одной частицы U*=u/e. 3десь: n-числовая плотность, u-внутренняя энергия одной частицы, к-постоянная Больцмана, P-давление, Т-температура, d-эффективный диаметр частицы, е-глубина потенциальной ямы. Для расчета необходимо рассмотреть фазовую диаграмму в координатах n*, T* (n*=nd 3 - приведенная числовая плотность, T*=кT/e - приведенная температура) и ввести n*, T*. На этой фазовой диаграмме Вам необходимо найти области: плотного газа, жидкого, твердого состояний и ввести n*, T* для трех точек в каждой из этих областей. Для анализа влияния температуры необходимо выбирать точки с разными температурами, но с одинаковыми плотностями (T* и n* можно взять из Таблицы N1). Выбранные Вами и рассчитанные программой, термодинамические параметры этих точек для трех состояний занесите в Таблицу N1, для этих точек Вы будете проводить моделирование движения атомов аргона.

В пункте меню 3 программа работает в режиме <<МОДЕЛИРОВAНИЕ ДИНAМИКИ ЧAСТИЦ>> , он позволяет рассматривать картину движения молекул в разных агрегатных состояниях и рассчитывать путем усреднения ряд термодинамических параметров. После выбора (с помощью дополнительного меню) типа моделируемого агрегатного состояния (плотный газ, жидкость, твердое тело), программа предложит Вам параметры этого состояния, заложенные в программу, если Вы выбрали другие параметры, то их можно на данном этапе изменить согласно Таблице N1 (для этого на запрос <<ВЫ БУДЕТЕ МЕНЯТЬ ПЛОТНОСТЬ И ТЕМПЕРAТУРУ? (Y/N)>> нажмите Y, в противном нажмите N) . В данном режиме информация о динамике выдается на два экрана, для включения которых необходимо нажать Alt и 1 или Alt и 2 .

На первый экран выводятся данные о системе и графики флюктуаций для: 1-температуры, 2-потенциальной энергии частицы, 3-кинетической энергии, 4-полной энергии частицы. Кроме этого в бегущей строке выдается мгновенная дополнительная численная информация: Ni-текущее число шагов итераций, t(c)-физическое время моделирования динамики, ЕР+ЕК(Дж)-полная энергия одной частицы, U*-приведенная энергия, Т(К)-температура, t i (c)-машинное время счета одного шага для одной частицы, P*-приведенное давление, Pv(Па)-давление(вериал), P=nkT, dt(c)-шаг интегрирования по времени.

На второй экран выводятся траектории частиц и графики характеристик, полученные путем усреднения динамических параметров движения частиц: 1-графики распределения частиц по скоростям на фоне распределения Максвелла (Vвер - наиболе вероятная скорость, температуры заданные и средняя); 2-график радиальной функци распределения, 3-график зависимости среднего квадрата смещения частиц от времени и значение коэффициента самодиффузии.

После запуска программы Вам необходимо наблюдать за изменениями характеристик и дождаться момента времени, когда флюктуации потенциальной и кинетической станут достаточно малы (5-10%). Это состояние можно считать равновесным, оно достигается программой автоматически путем проведения динамики в течении 2.10 -12 c, после этого радиальная функция распределения и функция распределения по скоростям будут соответствовать равновесным. После достижения равновесного состояния (примерно через 1.10 -11 с.) необходимо занести требуемые данные с обоих экранов в Таблицу N2. Аналогичные расчеты провести для трех температур в каждом агрегатном состоянии, для последней температуры зарисовать функцию распределения по скоростям и радиальную функцию распределения.

После окончания работы через пункт 4- <<КОНЕЦ РAБОТЫ>> необходимо вернуться к работе с методическим пособием.

Приготовьте в своей тетрадке Таблицу N1, Таблицу N2 .

Таблица N1.Параметры трех моделируемых фазовых состояний аргона.

Тема: Силы межмолекулярного взаимодействия. Агрегатные

состояния вещества. Характер теплового движения молекул в твердых,

жидких и газообразных телах и его изменение с ростом температуры.

Тепловое расширение тел. Фазовые переходы. Теплота фазовых

переходов. Равновесие фаз.

Межмолекулярное взаимодействие имеет электрическую природу. Между ними

действуют силы притяжения и отталкивания, которые быстро убывают при увеличении

расстояния между молекулами.

Силы отталкивания действуют только на очень малых расстояниях.

Практически поведение вещества и его агрегатное состояние определяется тем, что является доминирующим: силы притяжения или хаотическое тепловое движение.

В твердых телах доминируют силы взаимодействия, поэтому они сохраняет свою форму. Силы взаимодействия зависят от формы и структуры молекул, поэтому нет единого закона для их расчета.

Однако, если представить, что молекулы имеют шаровую форму – общий характер зависимости сил взаимодействия от расстояния между молекулами –r представлен на рисунке 1-а. На рисунке 1-б представлена зависимость потенциальной энергии взаимодействия молекул от расстояния между ними. При некотором расстоянии r0 (оно различно для разных веществ) Fпритяж.= Fотталк. Потенциальная энергия минимальна, при rr0 преобладают силы отталкивания, а при rr0 – наоборот.

На рисунке 1-в продемонстрирован переход кинетической энергии молекул в потенциальную при их тепловом движении (например колебаниях). Во всех рисунках начало координат совмещено с центром одной из молекул. Приближаясь к другой молекуле ее кинетическая энергия переходит в потенциальную и достигает максимального значения при расстояниях r=d. d называется эффективным диаметром молекул (минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул.

Понятно, что эффективный диаметр зависит, в том числе, от температуры, так как при большей температуре молекулы могут сблизится сильнее.

При низких температурах, когда кинетическая энергия молекул мала, они притягиваются вплотную и установятся в определенном порядке – твердое агрегатное состояние.

Тепловое движение в твердых телах является в основном колебательным. При высоких температурах интенсивное тепловое движение мешает сближению молекул – газообразное состояние, движение молекул поступательное и вращательное.. В газах менее 1% объема приходится на объем самих молекул. При промежуточных значениях температур молекулы будут непрерывно перемещаться в пространстве, обмениваясь местами, однако расстояние между ними не намного превышает d – жидкость. Характер движения молекул в жидкости носит колебательный и поступательный характер (в тот момент, когда они перескакивают в новое положение равновесия).

Тепловое движение молекул объясняет явление теплового расширения тел. При нагревании амплитуда колебательного движения молекул увеличивается, что приводит к увеличению размеров тел.

Линейное расширение твердого тела описывается формулой:

l l 0 (1 t), где - коэффициент линейного расширения 10-5 К-1. Объемное расширение тел описывается аналогичной формулой: V V0 (1 t), - коэффициент объемного расширения, причем =3.

Вещество может находится в твердом, жидком, газообразном состояниях. Эти состояния называют агрегатными состояниями вещества. Вещество может переходить из одного состояния в другое. Характерной особенностью превращения вещества является возможность существования стабильных неоднородных систем, когда вещество может находится сразу в нескольких агрегатных состояниях.

При описании таких систем пользуются более широким понятием фазы вещества. Например, углерод в твердом агрегатном состоянии может находится в двух различных фазах – алмаз и графит. Фазой называется совокупность всех частей системы, которая в отсутствии внешнего воздействия является физически однородной. Если несколько фаз вещества при данной температуре и давлении существуют, соприкасаясь друг с другом, и при этом масса одной фазы не увеличивается за счет уменьшения другой, то говорят о фазовом равновесии.

Переход вещества из одной фазы в другую называют фазовым переходом. При фазовом переходе происходит скачкообразное (происходящее в узком интервале температур) качественное изменение свойств вещества. Эти переходы сопровождаются скачкообразным изменением энергии, плотности и других параметров. Бывают фазовые переходы первого и второго рода. К фазовым переходам первого рода относят плавление, отвердевание (кристаллизацию), испарение, конденсацию и сублимацию (испарения с поверхности твердого тела). Фазовые переходы этого рода всегда связаны с выделением или поглощением теплоты, называемой скрытой теплотой фазового перехода.

При фазовых переходах второго рода отсутствует скачкообразное изменение энергии и плотности. Теплота фазового перехода тоже равна 0. Превращения при таких переходах происходят сразу во всем объеме в результате изменения кристаллической решетки при определенной температуре, которая называется точкой Кюри.

Рассмотрим переход первого рода. При нагревании тела, как отмечалось, происходит тепловое расширение тела и как следствие уменьшения потенциальной энергии взаимодействия частиц. Возникает ситуация, когда при некоторой температуре соотношения между потенциальной и кинетической энергиями не могут обеспечить равновесии старого фазового состояния и вещество переходит в новую фазу.

Плавление – переход из кристаллического состояния в жидкое. Q=m, удельная теплота плавления, показывает какое количество теплоты необходимо, чтобы перевести 1 кг твердого вещества в жидкое при температуре плавления, измеряется в Дж/кг. При кристаллизации выделяющееся количество теплоты рассчитывают по этой же формуле. Плавлении и кристаллизация происходят при определенной для данного вещества температуре, называемой температурой плавления.

Испарение. Молекулы в жидкости связаны силами притяжения, однако некоторые, самые быстрые молекулы могут покидать объем жидкости. При этом средняя кинетическая энергия оставшихся молекул уменьшается и жидкость охлаждается. Для поддержания испарения необходимо подводить тепло: Q=rm, r – удельная теплота парообразования, которая показывает какое количество теплоты необходимо затратить, чтобы перевести в газообразное состояния 1 кг жидкости при постоянной температуре.

Единица: Дж/кг. При конденсации теплота выделяется.

Теплота сгорания топлива рассчитывается по формуле: Q=qm.

В условиях механического и теплового равновесия состояния неоднородных систем определяются заданием давления и температуры, так как эти параметры одинаковы для каждой из частей системы. Опыт показывает, что при равновесии двух фаз давление и температура связаны между собой зависимостью, представляющей собой кривую фазового равновесия.

Точки, лежащие на кривой, описывают неоднородную систему, в которой существуют две фазы. Точки, лежащие внутри областей, описывают однородные состояния вещества.

Если кривые всех фазовых равновесий одного вещества построить на плоскости, то они разобьют ее на отдельные области, а сами сойдутся в одной точке, которая называется тройная точка. Эта точка описывает состояние вещества, в котором могут сосуществовать все три фазы. На рисунке 2 построены диаграммы состояния воды.

Читайте также:

A) Продукт интеллектуальной деятельности квалифицированных специалистов различных профессиональных групп
A) Сервис Параметры Вид Отображать Строка состояния команд меню
A) часть его интерфейса, обеспечивающая переход к выполнению различных операций над текстом
I. Декларация-заявка на проведение сертификации системы качества II. Исходные данные для предварительной оценки состояния производства
I. Особенности формирования отраслевой системы оплаты труда работников учреждений здравоохранения
II. Особенности учета операций по осуществлению функций главного распорядителя, распорядителя и получателя средств федерального бюджета

Одним из важнейших параметров, характеризующих молекулу, является минимальная потенциальная энергия взаимодействия Силы притяжения, действующие между молекулами стремятся сконденсировать вещество, т. е. сблизить его молекулы до расстояния r 0 , когда их потенциальная энергия взаимодействия минимальна и равна но этому сближению препятствует хаотическое тепловое движение молекул. Интенсивность этого движения определяется средней кинетической энергией молекулы, которая имеет порядок kT , где k – постоянная Больцмана. Агрегатные состояния вещества существенным образом зависят от соотношения величин и kT .

Предположим, что температура рассматриваемой системы молекул столь высока, что

kT >> В этом случае интенсивное хаотическое тепловое движение мешает силам притяжения соединить молекулы в агрегаты из нескольких частиц, сблизившихся до расстояния r 0: при соударениях большая кинетическая энергия молекул будет легко разбивать эти агрегаты на составляющие молекулы и, таким образом, вероятность образования устойчивых агрегатов будет как угодно малой. В этих обстоятельствах рассматриваемые молекулы, очевидно, будут находиться в газообразном состоянии.

Если температура системы частиц очень низкая, т. е. kT << молекулам, действующими силами притяжения, тепловое движение не может помешать приблизиться друг к другу на расстояние близкое к r 0 в определенном порядке. При этом система частиц будет находиться в твердом состоянии, а небольшая кинетическая энергия теплового движения вынудить молекулы совершать беспорядочные малые колебания около определенных положений равновесия (узлов кристаллической решетки).

Наконец, при температуре системы частиц, определяемой из приближенного равенства kT ≈ кинетическая энергия теплового движения молекул, величина которой примерно равна потенциальной энергии притяжения, не сможет переместить молекулу на расстояние, существенно превышающее r 0 . В этих условиях вещество будет находиться в жидком агрегатном состоянии.

Таким образом, вещество, в зависимости от своей температуры и величины присущей данному сорту составляющих его молекул, будет находиться в газообразном, твердом или жидком состоянии.

При нормальных условиях расстояние между молекулами в газе в десятки раз (см. пример 1.1) превышают их размеры; большую часть времени они движутся прямолинейно без взаимодействия и только значительно меньшую часть времени, когда находятся на близких расстояниях от других молекул, взаимодействуют с ними, меняя направление своего движения. Таким образом, в газообразном состоянии движение молекулы выглядит так, как схематично показано на рис.7, а.

В твердом состоянии каждая молекула (атом) вещества находится в равновесном положении (узел кристаллической решетки), возле которого она совершает малые колебания, причем направление (к примеру, аа" на рис. 7, б ) и амплитуда этих колебаний случайно изменяются (к примеру, на направление bb" ) через время, значительно большее периода этих колебаний; частоты колебаний молекул в общем случае неодинаковы. Колебания отдельной молекулы твердого тела в общих чертах представлена на рис. 7, б .

Молекулы твердого тела упакованы так плотно, что расстояние между ними примерно равно их диаметру, т.е. расстоянию r 0 на рис. 3. Известно, что плотность жидкого состояния примерно на 10 % меньше плотности твердого, при прочих равных условиях. Поэтому расстояние между молекулами жидкого состояния несколько больше r 0 . Учитывая, что в жидком состоянии молекулы обладают еще и большей кинетической энергией теплового движения, следует ожидать, что, в отличие от твердого состояния, они могут, совершая колебательное движение, достаточно легко менять свое местоположение, перемещаясь на расстояние, существенно не превышающее диаметр молекулы. Траектория движения молекулы жидкости приблизительно выглядит так, как схематически показано на рис. 7, в . Таким образом, движение молекулы в жидкости сочетает в себе поступательное движение, как это имеет место в газе, с колебательным, что наблюдается в твердом теле.