Число делится на 12 если. Творческая работа "признаки делимости". Действия над обыкновенными дробями

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

На уроках математики при изучении темы «Признаки делимости», где мы познакомились с признаками делимости на 2; 5; 3; 9; 10, меня заинтересовало, а есть ли признаки делимости на другие числа, и существует ли универсальный метод делимости на любое натуральное число. Поэтому я занялся исследовательской работой на данную тему.

Цель исследования: изучение признаков делимости натуральных чисел до 100, дополнение уже известных признаков делимости натуральных чисел нацело, изучаемых в школе.

Для достижения цели были поставлены задачи:

Собрать, изучить и систематизировать материал о признаках делимости натуральных чисел, воспользовавшись различными источниками информации.

Найти универсальный признак делимости на любое натуральное число.

Научиться пользоваться признаком делимости Паскаля для определения делимости чисел, а также попытаться сформулировать признаки делимости на любое натуральное число.

Объект исследования: делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел.

Методы исследования: сбор информации; работа с печатными материалами; анализ; синтез; аналогия; опрос; анкетирование; систематизация и обобщение материала.

Гипотеза исследования: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

Новизна проведённой исследовательской работы заключается в том, что данная работа систематизирует знания о признаках делимости и универсальном методе делимости натуральных чисел.

Практическая значимость : материал данной исследовательской работы можно использовать в 6 - 8 классах на факультативных занятиях при изучении темы «Делимость чисел».

Глава I. Определение и свойства делимости чисел

1.1.Определения понятий делимости и признаков делимости, свойства делимости.

Теория чисел - раздел математики, в котором изучаются свойства чисел. Основной объект теории чисел - натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, это делимость. Определение: Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число k, что a = bk (например, 56 делится на 8, т.к. 56 = 8х7). Признак делимости — правило, позволяющее установить, делится ли данное натуральное число на некоторые другие числа нацело, т.е. без остатка.

Свойства делимости:

Всякое число a, отличное от нуля, делится само на себя.

Нуль делится на любое b, не равное нулю.

Если a делится на b (b0) и b делится на c (c0), то a делится на c.

Если a делится на b (b0) и b делится на a (a0), то числа a и b либо равны, либо являются противоположными числами.

1.2. Свойства делимости суммы и произведения:

Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число.

2) Если в разности целых чисел уменьшаемое и вычитаемое делится на некоторое число, то и разность делится на некоторое число.

3) Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся, на некоторое число, то сумма не делится на это число.

4) Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

5) Если в произведении целых чисел один из множителей делится на m, а другой на n, то произведение делится на mn.

Кроме этого, изучая признаки делимости чисел, я познакомился с понятием «цифровой кореньчисла» . Возьмём натуральное число. Найдём сумму его цифр. У результата также найдём сумму цифр, и так до тех пор, пока не получится однозначное число. Полученный результат называется цифровым корнем числа. К примеру, цифровой корень числа 654321 равен 3: 6+5+4+3+2+1=21,2+1=3. А теперь можно задуматься над вопросом: «А какие существуют признаки делимости и есть ли универсальный признак делимости одного числа на другое?»

Глава II. Признаки делимости натуральных чисел.

2.1. Признаки делимости на 2,3,5,9,10.

Среди признаков делимости самые удобные и известные из школьного курса математики 6 класса:

Делимость на 2. Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой или нулём, то число делится на 2.Число 52738 делится на 2, так как последняя цифра 8- четная.

Делимость на 3 . Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3 (число 567 делится на 3, т.к. 5+6+7 = 18, а 18 делится на 3.)

Делимость на 5. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 5 или нулём, то число делится на 5 (число 130 и 275 делятся на 5, т.к. последними цифрами чисел являются 0 и 5, но число 302 не делится на 5, т.к. последней цифрой числа не являются 0 и 5).

Делимость на 9. Если сумма цифр делится на 9, то и число делится на 9 (676332 делится на 9 т.к. 6+7+6+3+3+2=27, а 27 делится на 9).

Делимость на 10 . Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится на 10 (230 делится на 10, т.к. последняя цифра числа 0).

2.2.Признаки делимости на 4,6,8,11,12,13 и т.д.

Поработав с различными источниками, я узнал другие признаки делимости. Опишу некоторые из них.

Деление на 6 . Нужно проверить делимость интересующего нас числа на 2 и на 3. Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно чётное, а его цифровой корень делится на 3. (Например,678 делится на 6, так как оно четное и 6+7+8=21, 2+1=3) Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6. (73,7*4+3=31,31 не делится на 6, значит и 7 не делится на 6.)

Деление на 8. Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8. (12 224 делится на 8 т.к. 224:8=28). Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится 9*4 + 5 *2 + 2 = 48.

Деление на 4 и на 25. Если две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4 или (и) на 25, то число делится на 4 или (и) на 25 (число 1500 делится на 4 и 25, т. к. оно оканчивается двумя нулями, число 348 делится на 4, поскольку 48 делится на 4, но это число не делится на 25, т.к. 48 не делится на 25, число 675 делится на 25, т.к. 75 делится на 25, но не делится на 4, т.к. 75 не делится на 4).

Зная основные признаки делимости на простые числа, можно вывести признаки делимости на составные числа:

Признак делимости на 11 . Если разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах и суммой цифр, стоящих на нечётных местах делится на 11, то и число делится на 11 (число 593868 делится на 11, т.к. 9 + 8 + 8 = 25, а 5 + 3 + 6 = 14, их разность равна 11, а 11 делится на 11).

Признак делимости на 12: число делится на 12 тогда и только тогда, когда две последние цифры делятся на 4 и сумма цифр делится на 3.

т.к. 12= 4 ∙ 3, т.е. число должно делиться на 4 и на 3.

Признак делимости на 13: Число делится на 13 тогда и только тогда, когда на 13 делится знакопеременная сумма чисел, образованных последовательными тройками цифр данного числа. Как узнать, например, что число 354862625 делится на 13? 625-862+354=117 делится на 13, 117:13=9, значит, и число 354862625 делится на 13.

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

т.к. 14= 2 ∙ 7, т.е. число должно делиться на 2 и на 7.

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3.

т.к. 15= 3 ∙ 5, т.е. число должно делиться на 3 и на 5.

Признак делимости на 18: число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9.

т.к18= 2 ∙ 9, т.е. число должно делиться на 2 и на 9.

Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда и только тогда, когда число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная.

т.к. 20 = 10 ∙ 2 т.е. число должно делиться на 2 и на 10.

Признак делимости на 25: число, содержащее не менее трех цифр, делится на 25 тогда и только тогда, когда делится на 25 число, образованное двумя последними цифрами.

Признак делимости на 30 .

Признак делимости на 59 . Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся 76 + 6*7 = 118 и 11 + 6*8 = 59.

Признак делимости на 79 . Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся 71 + 8*1 = 79.

Признак делимости на 99. Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится 1 + 25 + 73 = 99.

Признак делимости на 100 . На 100 делятся только те числа, у которых две последние цифры нули.

Признак делимости на 125: число, содержащее не менее четырех цифр, делится на 125 тогда и только тогда, когда делится на 125 число, образованное тремя последними цифрами.

Все выше перечисленные признаки обобщены в виде таблицы. (Приложение 1)

2.3 Признаки делимости на 7.

1) Возьмем для испы-тания число 5236. Запишем это число следующим образом: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 («систематическая» форма записи числа), и всюду основание 10 заменим основанием 3); 3 3 *5 + З 2 *2 + 3*3 + 6 = 168.Если получившееся число делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7. Так как 168 делится на 7, то и 5236 делится на 7. 68:7=24, 5236:7=748.

2) В этом признаке надо действовать точно так же, как и в предыдущем, с той лишь разницей, что умножение следует начинать с крайней правой и умножать не на 3, а на 5. (5236 делится на 7, так как 6*5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)

3) Этот признак ме-нее легок для осуществления в уме, но тоже очень интересен. Удвойте последнюю цифру и вычтите вторую справа, удвойте результат и прибавьте третью справа и т. д., чередуя вычитание и сложение и уменьшая каждый резуль-тат, где возможно, на 7 или на число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и испытуемое число делится (не делится) на 7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7=5.

4) Число делится на 7 тогда и только тогда, когда на 7 делится знакопеременная сумма чисел, образованных последовательными тройками цифр данного числа. Как узнать, например, что число 363862625 делится на 7? 625-862+363=126 делится на 7, 126:7=18, значит, и число 363862625 делится на 7, 363862625:7=51980375.

5) Один из самых старых признаков делимости на 7 состоит в следующем. Цифры числа нужно брать в обратном порядке, справа налево, умножая первую цифру на 1, вторую на 3, третью на 2, четвёртую на -1, пятую на -3, шестую на -2 и т.д. (если число знаков больше 6, последовательность множителей 1, 3, 2, -1,-3,-2 следует повторять столько раз, сколько нужно). Полученные произведения нужно сложить. Исходное число делится на 7, если вычисленная сумма де-лится на 7. Вот, например, что дает этот признак для числа 5236. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) =14. 14: 7=2, значит и число 5236 делится на 7.

6) Число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 число 49, которое получаем по этому признаку: 15* 3 + 4 = 49.

2.4.Признак Паскаля.

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль (1623-1662), французский математик и физик. Он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, который опубликовал в трактате "О характере делимости чисел". Практически все известные ныне признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля: «Если сумма остатков при делении числа a по разрядам на число в делится на в , то и число а делится на в ». Знать его полезно даже в наши дни. Как же доказать сформулированные выше признаки делимости (например, знакомый нам признак делимости на 7)? Постараюсь ответить на этот вопрос. Но прежде условимся о способе записи чисел. Чтобы записать число, цифры которого обозначены буквами, условимся проводить над этими буквами черту. Таким образом, abcdef будет обозначать число, имеющее f единиц, е десятков, d сотен и т.д.:

abcdef = a . 10 5 + b . 10 4 + c . 10 3 + d . 10 2 + e . 10 + f. Теперь докажу сформулированный выше признак делимости на 7. Мы имеем:

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(остатки от деления на 7).

В результате, мы получаем сформулированное выше 5-е правило: чтобы узнать остаток от деления натурального числа на 7, нужно справа налево подписать под цифрами этого числа коэффициенты (остатки от деления): затем нужно умножить каждую цифру на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения сложить; найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7, что и взятое число.

Возьмем для примера числа 4591 и 4907 и, действуя, как указано в правиле, найдем результат:

-1 2 3 1

4+10+27+1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (остаток 6) (не делится нацело на 7)

-1 2 3 1

4+18+0+7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (делится нацело на 7)

Этим способом можно найти признак делимости на любое число т. Надо только найти, какие коэффициенты (остатки от деления) следует подписывать под цифрами взятого числа А. Для этого нужно каждую степень десяти 10 заменить по возможности имеющим тот же остаток при делении на т, что и число 10. При т = 3 или т = 9 эти коэффициенты получились очень простые: все они равны 1. Поэтому и признак делимости на 3 или на 9 получился очень простой. При т = 11 коэффициенты тоже были не сложными: они попеременно равны 1 и - 1. А при т =7 коэффициенты получились сложнее; поэтому и признак делимости на 7 получился более сложный. Рассмотрев признаки деления до 100, я убедился, что самые сложные коэффициенты у натуральных чисел 23 (с 10 23 коэффициенты повторяются), 43 (с 10 39 коэффициенты повторяются).

Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

1группа - когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50.

2 группа - когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа- это признаки делимости на 3, на 9, на7, на 37, на 11 (1 признак).

3 группа - когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа- это признаки делимости на 7, на 11(1 признак), на 13, на 19.

4 группа - когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости- это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на14.

Экспериментальная часть

Опрос

Анкетирование проводилось среди обучающихся 6-х, 7-х классов. В опросе приняли участие 58 обучающихся МОБУ Караидельская СОШ № 1 МР Караидельский район РБ. Им было предложено ответить на следующие вопросы:

Как вы думаете, существуют ли другие признаки делимости отличные от тех, которые изучались на уроке?

Есть ли признаки делимости для других натуральных чисел?

Хотели бы вы узнать эти признаки делимости?

Известны ли вам какие-либо признаки делимости натуральных чисел?

Результаты проведенного опроса показали, что 77% опрошенных считают, что существуют и другие признаки делимости кроме тех, которые изучаются в школе; Так не считают - 9%, затруднились ответить - 13% опрашиваемых. На второй вопрос «Хотели бы вы узнать признаки делимости для других натуральных чисел?» утвердительно ответили 33%, дали ответ «Нет» - 17% респондентов и затруднились ответить - 50%. На третий вопрос 100% опрашиваемых ответили утвердительно. На четвертый вопрос положительно ответили 89%, ответили «Нет» - 11% обучающихся, участвовавших в опросе в ходе проведения исследовательской работы.

Заключение

Таким образом, в ходе выполнения работы были решены поставленные задачи:

изучен теоретический материал по данному вопросу;

кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10, я узнал, что существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и т.д.;

3) изучен признак Паскаля - универсальный признак делимости на любое натуральное число;

Работая с разными источниками, анализируя найденный материал по исследуемой теме, я убедился в том, что существуют признаки делимости и на другие натуральные числа. Например, на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, что и подтвердило правильность выдвинутой мной гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел. Также я выяснил, что существует универсальный признак делимости, алгоритм которого нашел французский математик паскаль Блез и опубликовал его в своем трактате «О характере делимости чисел». С помощью этого алгоритма, можно получить признак делимости на любое натуральное число.

Результатом исследовательской работы стал систематизированный материал в виде таблицы «Признаки делимости чисел», который можно использовать на уроках математики, во внеклассных занятиях с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных задач, при подготовке обучающихся к ОГЭ и ЕГЭ.

В дальнейшем предполагаю продолжить работу над применением признаков делимости чисел к решению задач.

Список использованных источников

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений /— 25-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009. — 288 с.

Воробьев В.Н. Признаки делимости.-М.:Наука,1988.-96с.

Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - Элиста.: Джангар, 1995. - 416 с.

Гарднер М. Математические досуги. / Под. Ред. Я.А.Смородинского. - М.: Оникс, 1995. - 496 с.

Гельфман Э.Г., Бек Е.Ф. и др. Дело о делимости и другие рассказы: Учебное пособие по математике для 6 класса. - Томск: Изд-во Том.ун-та, 1992. - 176с.

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. — 2-е изд.— М.: Просвещение, 1990. — 416 с.

Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.В.Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва.: Просвещение, 1984. - 289с.

Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1989. - 97с.

Куланин Е.Д.Математика. Справочник. -М.: ЭКСМО-Пресс,1999-224с.

Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: Триада-Литера,1994. -199с.

Тарасов Б.Н. Паскаль. -М.:Мол. Гвардия,1982.-334с.

http://dic.academic.ru/ (Википедии — свободной энциклопедии).

http://www.bymath.net (энциклопедия).

Приложение 1

ТАБЛИЦА ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ

	Признак	Пример
	Число заканчивается на чётную цифру.	………………2(4,6,8,0)
	Сумма цифр делится на 3.	3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3
	Число из двух последних его цифр нули или делится на 4.	………………12
	Число заканчивается на цифру 5 или 0.	………………0(5)
	Число заканчивается на чётную цифру и сумма цифр делится на 3.	375018: 8-четное число 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3
	Результат вычитания удвоенного последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.	36 — (2 × 4) = 28, 28:7
	Три его последние цифры числа - нули или образуют число, которое делится на 8.	……………..064
	Сумма его цифр числа делится на 9.	3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9
	Число оканчивается на ноль	………………..0
	Сумма цифр числа с чередующимися знаками делится на 11.	1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22
	Две последние цифры числа делятся на 4 и сумма цифр делится на 3.	2+1+6=9, 9:3 и 16:4
	Число десятков данного числа, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.	84 + (4 × 5) = 104,
	Число заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.	364: 4 - четное число 36 — (2 × 4) = 28, 28:7
	Число 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3.	6+3+4+8+0=21, 21:3
	Четыре его последние цифры числа - нули или образуют число, которое делится на 16.	…………..0032
	Число десятков данного числа, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17.	29053→2905+36=2941→294+12= 306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17
	Число заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9.	2034: 4 - четное число
	Число десятков данного числа, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19	64 + (6 × 2) = 76,
	Число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная	…………………40
	Число, состоящее из двух последних цифр делится на 25	…………….75
	Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0, и сумма всех цифр делится на 3.	……………..360
	Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.	Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся 76 + 6*7 = 118 и 11 + 6*8 = 59.
	Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79..	Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся 71 + 8*1 = 79
	Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).	Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится 1 + 25 + 73 = 99.
на 125	Число, состоящее из трех последних цифр делится на 125	……………375

Для упрощения деления натуральных чисел были выведены правила деления на числа первого десятка и числа 11, 25, которые объединены в раздел признаков делимости натуральных чисел . Ниже приводятся правила, по которым анализ числа без его деления на другое натуральное число даст ответ на вопрос, кратно ли натуральное число числам 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядной единице?

Натуральные числа, имеющие в первом разряде цифры (оканчивающиеся на) 2,4,6,8,0, называются четными.

Признак делимости чисел на 2

На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.

Признак делимости чисел на 3

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Признак делимости чисел на 4

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Признак делимости чисел на 5

Признак делимости чисел на 6

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Признак делимости чисел на 9

На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Признак делимости чисел на 10

Признак делимости чисел на 11

На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11. Например:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + б + 7 = 28 и 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

Признак делимости чисел на 25

На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых - нули или составляют число, кратное 25. Например:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Признак делимости чисел на разрядную единицу

На разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы. Например: 12 000 делится на 10, 100 и 1000.

ЧИСТЕНСКИЙ УВК «ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

I – III СТУПЕНЕЙ – ГИМНАЗИЯ»

НАПРАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИКА

«ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ»

Работу выполнил

ученик 7а класса

Журавлев Давид

Научный руководитель

специалист высшей категории

Федоренко Ирина Витальевна

Чистенькое, 2013

Оглавление

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1. Делимость чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Признаки делимости на 4, на 25 и на 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Признаки делимости на 8 и на 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Упрощение признака делимости на 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Признаки делимости на 6, 12, 15, 18, 45 и т. д. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. Признак делимости на 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Простые признаки делимости на простые числа. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Признаки делимости на 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Признаки делимости на 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Признаки делимости на 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Признаки делимости на 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.Объединённый признак делимости на 7, 11 и 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Старое и новое о делимости на 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5. Распространение признака делимости на 7 на другие числа. . . . . . 12

6. Обобщенный признак делимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7. Курьез делимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Выводы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

ВВЕДЕНИЕ

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

Д. Пойа

В математике много разделов и один из них – делимость чисел.

Математики прошлых веков придумали множество удобных уловок, чтобы облегчить расчеты и вычисления, которыми изобилует решение математических задач. Вполне разумный выход из положения, ведь у них не было ни калькуляторов, ни компьютеров. В некоторых ситуациях, умение пользоваться удобными способами вычисления значительно облегчает решение задач и существенно сокращает затраченное на них время.

К подобным полезным приемам вычисления, несомненно, относятся признаки делимости на число. Некоторые из них более легкие - эти признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10 изучаются в рамках школьного курса, а некоторые - достаточно сложные и представляют скорее исследовательский интерес, чем практический. Впрочем, проверить каждый из признаков делимости на конкретных числах всегда интересно.

Цель работы: расширить представления о свойствах чисел, связанных с делимостью;

Задачи:

Познакомиться с различными признаками делимости чисел;

Систематизировать их;

Сформировать навыки применения вводимых правил, алгоритмов для установления делимости чисел.

Делимость чисел

Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое.

Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Пример 1.1

32 делится на 4, 16 делится на 4, значит, сумма 32 + 16 делится на 4.

Делимость разности. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на какое-нибудь число, то и разность делится на это число.

Пример 1.2

777 делится на 7, 49 делится на 7, значит разность 777 – 49 делится на 7.

Делимость произведения на число. Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Пример 1.3

15 делится на 3, значит произведение 15∙17∙23 делится на 3.

Делимость числа на произведение. Если число делится на произведение, то оно делится на каждый из множителей этого произведения.

Пример 1.4

90 делится на 30, 30 = 2∙3∙5, значит 30 делится и на 2, и на 3, и на 5.

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль. БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Он сформулировал следующий признак делимости, который носит его имя:

Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b , делится на это число.

1.1 Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9

В школе мы изучаем признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.

Признак делимости на 10. На 10 делятся все те и только те числа, запись которых заканчивается цифрой 0.

Признак делимости на 5. На 5 делятся все те и только те числа, запись которых заканчивается цифрой 0 или 5.

Признак делимости на 2. На 2 делятся все те и только те числа, запись которых заканчивается четной цифрой: 2,4,6,8 или 0.

Признак делимости на 3 и 9. На 3 и 9 делятся все те и только те числа, сумма цифр которых делится соответственно на 3 или на 9.

По записи числа (по его последним цифрам) можно так же установить делимость числа на 4, 25, 50, 8 и 125.

1.2 Признаки делимости на 4, на 25 и на 50

На 4, на 25 или на 50 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 4, на 25 или на 50.

Пример 1.2.1

Число 97300 заканчивается двумя нулями, значит, оно делится и на 4, и на 25, и на 50.

Пример 1.2.2

Число 81764 делится на 4, так как число, образованное двумя последними цифрами 64 делится на 4.

Пример 1.2.3

Число 79 450 делится на 25, и на 50, так как число, образованное двумя последними цифрами 50 делится и на 25, и на 50.

1.3 Признаки делимости на 8 и на 125

На 8 или на 125 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 8 или на 125.

Пример 1.3.1

Число 853 000 заканчивается тремя нулями, значит, оно делится и на 8, и на 125.

Пример 1.3.2

Число 381 864 делится на 8, так как число, образованное тремя последними цифрами 864 делится на 8.

Пример 1.3.3

Число 179 250 делится на 125, так как число, образованное тремя последними цифрами 250 делится на 125.

1.4 Упрощение признака делимости на 8

Вопрос о делимости некоторого числа сводится к вопросу о делимости на 8 некоторого трехзначного числа, но при этом ничего не говорится о том, как в свою очередь быстро узнать, делится ли это трехзначное число на 8. Делимость трехзначного числа на 8 тоже ведь не всегда сразу видна, приходится фактически производить деление.

Естественно возникает вопрос: нельзя ли упростить и признак делимости на 8? Можно, если дополнить его специальным признаком делимости трехзначного числа на 8.

На 8 делится всякое трехзначное число, у которого двузначное число, образованное цифрами сотен и десятков, сложенное с половиной числа единиц, делится на 4.

Пример 1.4.1

Делится ли число 592 на 8?

Решение.

Отделяем от числа 592 единицы и половину их числа прибавляем к числу из следующих двух цифр (десятков и сотен).

Получаем: 59 + 1 = 60.

Число 60 делится на 4, значит, число 592 делится на 8.

Ответ: делится.

1.5 Признаки делимости на 6, 12, 15, 18, 45 и т. д.

Используя свойство делимости числа на произведение, из вышеперечисленных признаков делимости получаем признаки делимости на 6, 12, 15, 18, 24 и т. д.

Признак делимости на 6. На 6 делятся те, и только те числа, которые делятся на 2 и на 3.

Пример 1.5.1

Число 31 242 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.

Признак делимости на 12. На 12 делятся те, и только те числа, которые делятся на 4 и на 3.

Пример 1.5.2

Число 316 224 делится на 12, так как оно делится и на 4 и на 3.

Признак делимости на 15. На 15 делятся те, и только те числа, которые делятся на 3 и на 5.

Пример 1.5.3

Число 812 445 делится на 15, так как оно делится и на 3 и на 5.

Признак делимости на 18. На 18 делятся те, и только те числа, которые делятся на 2 и на 9.

Пример 1.5.4

Число 817 254 делится на 18, так как оно делится и на 2 и на 9.

Признак делимости на 45. На 45 делятся те, и только те числа, которые делятся на 5 и на 9.

Пример 1.5.5

Число 231 705 делится на 45, так как оно делится и на 5 и на 9.

Существует ещё один признак делимости чисел на 6.

1.6 Признак делимости на 6

Чтобы проверить делимость числа на 6, надо:

Число сотен умножить на 2,

Полученный результат вычесть из числа стоящего после числа сотен.

Если полученный результат делится на 6, то и все число делится на 6. Пример 1.6.1

Делится ли число 138 на 6?

Решение.

Число сотен 1·2=2, 38-2=36, 36:6, значит, 138 делится на 6.

Простые признаки делимости на простые числа

Число называется простым, если оно имеет только два делителя (единицу и само число).

2.1 Признаки делимости на 7

Чтобы узнать делится ли число на 7, надо:

Число, стоящее до десятков умножить на два,

К результату прибавить оставшееся число.

Проверить делится ли полученный результат на 7, или нет.

Пример 2.1.1

Делится ли число 4 690 на 7?

Решение.

Число, стоящее до десятков 46·2=92, 92+90=182, 182:7=26, значит, 4690 делится на 7.

2.2 Признаки делимости на 11

Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.

Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11.

Пример 2.2.1

Делится ли число 100397 на 11?

Решение.

Сумма цифр, стоящих на четных местах: 1+0+9=10.

Сумма цифр, стоящих на нечетных местах: 0+3+7=10.

Разность сумм: 10 – 10=0, 0 кратно 11, значит, 100397 делится на 11.

2.3 Признаки делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.

Пример 2.3.1

Число 858 делится на 13, так как 85 - 9∙8 = 85 – 72 = 13 делится на 13.

2.4 Признаки делимости на 19

Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Пример 2.4.1

Определить, делится ли на 19 число 1026.

Решение.

В числе 1026 102 десятка и 6 единиц. 102 + 2∙6 = 114;

Аналогично 11 + 2∙4 = 19.

В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.

Объединённый признак делимости на 7, 11 и 13

В таблице простых чисел числа 7, 11 и 13 расположены рядом. Их произведение равно:7 ∙ 11 ∙ 13= 1001 = 1000 + 1. Значит, число 1001 делится и на 7, и на 11, и на 13.

Если любое трехзначное число умножить на 1001, то произведение запишется такими же цифрами, как и множимое, только повторенными два раза: abc –трехзначное число; abc ∙1001 = abcabc .

Следовательно, все числа вида аЬсаЬс делятся на 7, на 11 и на 13.

Указанные закономерности позволяют свести решение вопроса о делимости многозначного числа на 7 или на 11, или на 13 к делимости на них некоторого другого числа - не более чем трехзначного.

Если разность сумм граней данного числа, взятых через одну, делится на 7 или на 11, или на 13, то и данное число делится соответственно на 7 или на 11, или на 13.

Пример 3.1

Определить, делится ли число 42 623 295 на 7, 11 и 13.

Решение.

Разобьем данное число справа налево на грани по 3 цифры. Крайняя левая грань может и не иметь трех цифр. Определим, на какое из чисел 7, 11 или 13 делится разность сумм граней данного числа:

623 - (295 + 42) = 286.

Число 286 делится на 11 и на 13, а на 7 оно не делится. Следовательно, число 42 623 295 делится на 11 и на 13, но на 7 не делится.

Старое и новое о делимости на 7

Почему-то число 7 очень полюбилось народу и вошло в его песни и поговорки:

Семь раз примерь, один раз отрежь.

Семь бед, один ответ.

Семь пятниц на неделе.

Один с сошкой, а семеро с ложкой.

У семи нянек дитя без глазу.

Число 7 богато не только поговорками, но и разнообразными признаками делимости. Два признака делимости на 7 (в объединении с другими числами) вы уже знаете. Имеется также несколько индивидуальных признаков делимости на 7.

Первый признак делимости на 7 поясним на примере.

Возьмем число 5236. Запишем это число следующим образом:

5 236 = 5∙10 3 + 2∙10 2 + 3∙10 + 6

и всюду основание 10 заменим основанием 3: 5∙3 3 + 2∙3 2 + 3∙3 + 6 = 168

Если получившееся число делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7.

Так как 168 делится на 7, то и 5236 делится на 7.

Видоизменение первого признака делимости на 7. Умножьте первую слева цифру испытуемого числа на 3 и прибавьте следующую цифру; результат умножьте на 3 и прибавьте следующую цифру и т. д. до последней цифры. Для упрощения после каждого действия разрешается из результата вычитать 7 или число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7. Для выбранного ранее числа 5 236:

5∙3 = 15; (15 – 14 = 1); 1 + 2 = 3; 3∙3 = 9; (9 – 7 = 2); 2 + 3 = 5; 5∙3 = 15; (15 – 14 = 1); 1 + 6 = 7 – делится на 7, значит, 5 236 делится на 7.

Преимущество этого правила в том, что оно легко применяется в уме.

Второй признак делимости на 7. В этом признаке надо действовать точно так же, как и в предыдущем, с той лишь разницей, что умножение следует начинать не с крайней левой цифры данного числа, а с крайней правой и умножать не на 3, а на 5.

Пример 4.1

Делится ли на 7 число 37 184?

Решение.

4∙5=20; (20 - 14 = 6); 6 + 8=14; (14 - 14 = 0); 0∙5 = 0; 0+1= 1; 1∙5 = 5; прибавление цифры 7 можно пропустить, так как из полученного результата вычитается цифра 7; 5∙5 = 25; (25 - 21= 4); 4 + 3 = 7 – делится на 7, значит, число 37 184 делится на 7.

Третий признак делимости на 7. Этот признак менее легок для осуществления в уме, но он тоже очень интересен.

Удвойте последнюю цифру и вычтите вторую справа, удвойте результат и прибавьте третью справа и т. д., чередуя вычитание и сложение и уменьшая каждый результат, где возможно, на 7 или на число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и испытуемое число делится (не делится) на 7.

Пример 4.2

Делится ли на 7 число 889?

Решение.

9∙2 = 18; 18 – 8 = 10; 10∙2 = 20; 20 + 8 = 28 или

9∙2 = 18; (18 – 7 = 11) 11 – 8 = 3; 3∙2 = 6; 6 + 8 = 14 – делится на 7, значит, число 889 делится на 7.

И ещё признаки делимости на 7. Если какое-либо двузначное число делится на 7, то делится на 7 и число обращенное, увеличенное на цифру десятков данного числа.

Пример 4.3

14 делится на 7, следовательно, делится на 7 и число 41 + 1.

35 делится на 7, следовательно, на 7 делится число 53 + 3.

Если какое-либо трехзначное число делится на 7, то делится на 7 и число обращенное, уменьшенное на разность цифр единиц и сотен данного числа.

Пример 4.4

Число 126 делится на 7. Следовательно, на 7делится число 621 - (6 - 1), то есть 616.

Пример 4.5

Число 693 делится на 7. Следовательно, делится на 7 и число 396 - (3 - 6), то есть 399.

Распространение признака делимости на 7 на другие числа

Изложенные три признака делимости чисел на 7 можно применять при определении делимости числа на 13, 17 и 19.

Для определения делимости данного числа на 13, 17 или 19 надо умножить крайнюю левую цифру испытуемого числа соответственно на 3, 7 или 9 и вычесть следующую цифру; результат опять умножить соответственно на 3, 7 или 9 и прибавить следующую цифру и т. д., чередуя вычитания и прибавления последующих цифр после каждого умножения. После каждого действия результат можно уменьшить или увеличить соответственно на число 13, 17, 19 или кратное ему.

Если окончательный результат делится (не делится) на 13, 17 и 19, то делится (не делится) и данное число.

Пример 5.1

Делится ли число 2 075 427 на 19?

Решение.

2∙9=18; 18 – 0 = 18; 18∙9 = 162; (162 - 19∙8 = 162 = 10); 10 + 7 = 17; 17∙9 = 153; (153 - 19∙7 = 20); 20 – 5 = 15; 15∙9 = 135; (135 - 19∙7 = 2);

2 + 4 = 6; 6∙9 = 54; (54 - 19∙2 = 16); 16 – 2 = 14; 14∙9 = 126; (126 - 19∙6 = = 12); 12 + 7 = 19 – делится на 19, значит, 2 075 427 делится на 19.

Обобщенный признак делимости

Мысль о рассечении числа на грани с последующим их сложением для определения делимости данного числа оказалась очень плодотворной и привела к единообразному признаку делимости многозначных чисел на довольно обширную группу простых чисел. Одной из групп «счастливых» делителей являются все целые множители р числа d = 10n + 1, где n = 1, 2, 3,4, … (при больших значениях n теряется практический смысл признака).

101

101

1001

7, 11, 13

10001

73, 137

2)сложить грани через одну, начиная с крайней правой;

3) сложить остальные грани;

4)из большей суммы вычесть меньшую.

Если результат делится на р, то и данное число делится на р.

Так, для определения делимости числа на 11 (р =11) рассекаем число на грани по одной цифре (п = 1). Поступая далее, как указано, приходим к известному признаку делимости на 11.

При определении делимости числа на 7, 11 или 13 (р = 7, 11, 13) отсекаем по 3 цифры (n = 3). При определении делимости числа на 73 и 137 отсекаем по 4 цифры (n = 4).

Пример 6.1

Выяснить делимость пятнадцатизначного числа 837 362 172 504 831 на 73 и на 137 (р = 73, 137, n = 4).

Решение.

Разбиваем число на грани: 837 3621 7250 4831.

Складываем грани через одну: 4931 + 3621 = 8452; 7250 + 837 = 8087.

Вычитаем из большей суммы меньшую: 8452-8087 = 365.

365 делится на 73, но не делится на 137; значит, данное число делится на 73, но не делится на 137.

Второй группой «счастливых» делителей являются псе целые множители р числа d = 10n -1, где n = 1, 3, 5, 7,…

Число d = 10n -1 дает следующие делители:

n

d

p

1

9

3

3

999

37

5

99 999

41, 271

Для определения делимости какого-либо числа на любое из этих чисел р надо:

1) рассечь данное число справа налево (от единиц) на грани по n цифр (каждому р соответствует свое n; крайняя левая грань может иметь цифр меньше n);

2) все грани сложить.

Если полученный результат делится (не делится) на р, то делится (не делится) и данное число.

Заметим, что 999 = 9∙111, значит, 111 делится на 37, но тогда и числа 222, 333, 444, 555, 666, 777 и 888 делятся на 37.

Аналогично: 11 111 делится на 41 и на 271.

Курьез делимости

В заключение хочется представить четыре изумительных десятизначных числа:

2 438 195 760; 4 753 869 120;3 785 942 160; 4 876 391 520.

В каждом из них есть все цифры от 0до 9, но каждая цифра только по одному разу и каждое из этих чисел делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 и 18.

Выводы

В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнал, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 25, 50, 125 и другие числа, причем признаки делимости на одно и то же число могут быть различными, а значит всегда есть место творчеству.

Работа имеет теоретический характер и практическое применение . Данное исследование будет полезным при подготовке к олимпиадам и конкурсам.

Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации. В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости чисел.

Литература

1. Н. Н. Воробьев «Признаки делимости» Москва «Наука» 1988

2. К. И. Щевцов, Г. П. Бевз «Справочник по элементарной математике» Киев «Наукова думка» 1965

3. М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике» Москва «Наука» 1986

4. Интернет ресурсы

Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.

Основные признаки делимости

Приведем основные признаки делимости чисел :

• Признак делимости числа на «2» Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)
  Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.
• Признак делимости числа на «3» Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3
  Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.
• Признак делимости числа на «4» Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4
  Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.
• Признак делимости числа на «5» Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5
  Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.
• Признак делимости числа на «6» Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3
  Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.
• Признак делимости числа на «8» Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8
  Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.
• Признак делимости числа на «9» Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9
  Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9.
• Признак делимости числа на «10» Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0
  Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0.
• Признак делимости числа на «11» Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11
  Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7.
• Признак делимости числа на «25» Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75
  Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.

Признаки делимости на составное число

Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители , признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа - это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.

Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.

Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) - следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).